Scaling limits of weighted random tree-like planar maps

Abstract

The topic for this thesis lies in the scope of random planar maps. We investigate scaling limits of some models of discrete planar maps which are by construction “tree-like”. Specifically, we consider some models of “Halin-like” maps and series-parallel maps. The main aim is to study how some fundamental limiting objects appear as scaling limits of these models, hence affirming their universality properties. The Brownian Continuum Random tree (CRT), originally introduced by David Aldous is one of such limiting objects and has been known to be the limit of various different discrete models of uniformly sampled and weighted planar maps. The stable looptrees, due to Curien and Kortchemski is also of significant interest in this thesis. They are known to arise as scaling limit of models of tree-like maps for the case when each face in the maps is assigned a heavy tailed weight so that a typical face is in the domain of attraction of a stable law. One motivation for this thesis is to understand how these convergences generically happen for maps characterized via exclusion of minors. To our knowledge, series-parallel maps known to be characterized by not containing $K_4$ as a minor is the largest known collection of maps, defined by the exclusion of minors, which admits the CRT as a scaling limit.

Í ritgerðinni er fjallað um slembin sléttukort. Við fáumst við flokk sléttukorta sem líkjast trjám og rannsökum skölunarmarkgildi þeirra. Nánar tiltekið skoðum við svokölluð Halin-kort og rað-hliðtengd kort. Meginmarkmiðið er að sýna að ákveðin slembin firðrúm eru skölunarmarkildi þessara líkana og undirstrika þar með allsherjareiginleika þeirra. Brownska tré Aldous (CRT) er eitt slíkra slembifirðrúma en sýnt hefur verið að það er skölunarmarkgildi ýmissa ólíkra strjálla líkana af jafndreifðum slembikortum. Stöðug lykkjutré, sem kynnt voru til sögunnar af Curien og Kortchemski eru annað dæmi. Þau reynast vera skölunarmarkgildi ýmissi slembikorta sem líkjast trjám, þegar þunghaladreifing er sett á möskvastærðir þeirra þannig að dæmigerður möskvi hefur slembna stærð sem dregst að stöðugri dreifingu. Annað markmið er að skilja hvernig mismunandi skölunarmarkgildi koma fram í flokkum jafndreifðra neta sem skilgreindir eru þannig að netin innihalda ekki hlutnet grannmóta tilteknum netum. Rað-hliðtengd net, sem má skilgreina þannig að þau eru net sem innihalda ekki hlutnet grannnmóta K4, eru að okkar vitneskju stærsti slíki flokkur sem hefur CRT sem skölunarmarkgildi.