Restricted and weighted polynomial approximations

Abstract

The thesis contains material from papers studying polynomial approximations of holomorphic functions in several variables. These approximations are weighted, in the sense that the norm used to assess the approximation is weighted, and polynomials used for the approximation are restricted to a certain subring of polynomials. The notion of the degree of a polynomial is also different from the classical setting. The main aim is to develop an analog of the Bernstein-Walsh-Siciak theorem, a generalization of the Runge-Oka-Weil theorem. To aid this study the Siciak-Zakharyuta functions, sometimes called global extremal functions or pluricomplex Green functions, from pluripotential theory are generalized. They are then used to construct weights for Hörmander’s L2-estimates of solutions to d-bar-equations and the solutions to those equations are then used to construct the desired polynomials.

Ritgerðin er samansett af efni úr greinum sem fjalla um margliðunálganir á fáguðum föll í mörgum breytistærðum. Þessar nálganir eru metnar með vegnum stöðlum og margliðurnar sem eru notaðar koma úr hlutbaugum margliðna. Hugtakið um stig margliðanna er einnig frábrugðið í hefðbundna tilfellinu. Megin markið rannsóknanna er að setja fram og sanna útgáfu af Bernstein-Walsh-Siciak setningunni, sem er alhæfing á Runge-Oka-Weil setningunni. Til að sanna þessa setningu er notast við alhæfða útgáfu af Siciak-Zakharyuta fallinu úr fjölmættisfræði. Það er svo notað sem vigt í L2-mati Hörmanders á lausnum á d-strik-afleiðujöfnum. Lausnir slíkra jafna eru síðan notaðar til að smíða margliðurnar sem á að nota í nálgununum.