Polynomial Approximation and Pluripotential Theory

Abstract

We study the rings of polynomials in several complex variables whose exponents are restricted to the dilates of a compact convex set that contains the origin. We study the properties of weighted extremal functions associated to these polynomial rings, that are generalizations of the Siciak function and the pluricomplex Green function. We prove that these functions satisfy a Siciak-Zakharyuta Theorem. We also show versions of the Runge-Oka-Weil Theorem on the approximation of holomorphic functions by polynomials from these rings.

Við skoðum nálganir á fáguðum föllum með margliðum af mörgum tvinnbreytistærðum með vísa sem einskorðaðir eru við stríkkanir kúpts þjappaðs mengis S ⇢ Rn + sem inniheldur núll. Þessi einskorðun skilgreinir stigaðan hlutbaug PS(Cn) í margliðunum á Cn. Við skoðum eiginleika útgildisfallanna S K,q og V S K,q sem ákvarðast af þessum margliðubaugum. Þessi föll eru alhæfingar Siciak fallsins og Green fallsins í tvinnfallagreiningu af mörgum breytistærðum. Við sönnum alhæfingu Siciak-Zakharyuta setningarinnar, sem kveður á um að V S K,q = log S K,q á C⇤n. Auk þess sönnum við útgáfur af Runge-Oka-Weil setningunni um nálganir á fáguðum föllum með margliðum úr PS(Cn).