The TTbar deformation and zeta functions in 3D gravity

Abstract

This thesis explores two topics in three-dimensional gravity, the $\ttb$ deformation and zeta functions of three-dimensional quotient manifolds.

The $\ttb$ deformation is an irrelevant deformation of a two-dimensional translationally invariant quantum field theory which is well-behaved in the UV. We consider the case of two-dimensional holographic Warped Conformal Field theories (WCFTs), which are dual to gravity in three-dimensional anti-de Sitter (AdS$_3$) spacetime with Compere, Song, Strominger (CSS) boundary conditions. WCFTs are non-relativistic quantum field theories which have a Virasoro$\times \rm U(1)$ Kac-Moody symmetry algebra. We compute the boundary conditions and asymptotic symmetry algebra for a $\ttb$ deformed WCFT. We find that the $\rm U(1)$ Kac-Moody algebra survives the deformation if one allows the boundary metric to transform appropriately under the asymptotic symmetries, however the Virasoro sector becomes highly deformed and is no longer chiral.

The Selberg zeta function is defined by the Euler product over prime geodesics on a hyperbolic quotient manifold. It provides a simpler way to compute functional determinants of kinetic operators compared to traditional means. We introduce a new construction of a zeta function, which generalizes the Selberg zeta function to non-hyperbolic quotient manifolds. We employ our generalization to quotients of three-dimensional Warped AdS$_3$ and three-dimensional flat spacetime. We find that the zeroes of the zeta function accurately predicts the quasi-normal mode spectrum in these non-hyperbolic cases, providing evidence for the proposed construction of the zeta function.

Ritgerð þessi fjallar um tvö viðfangsefni í þyngdarfræði í þrívíðu tímarúmi. Annars vegar svonefnda TT¯-bjögun og hins vegar zetaföll fyrir þrívíð deildarúm. TT¯-bjögun á tvívíðu skammtasviðslíkani með hliðrunarsamhverfu er víkjandi bjögun, í skilningi endurstöðlunar, sem leiðir ekki til ósamleitni á stuttum lengdarkvarða. Í fyrri hluta rigerðarinnar er sjónum beint að TT¯-bjögun á undinni hornrækinni sviðsfræði, sem hefur þyngdarfræðilega framsetningu í þrívíðu tímarúmi með neikvæðan heimsfasta. Undin hornrækin sviðsfræði hefur Virasoro×U(1) Kac-Moody samhverfualgebru. Kannað er hvaða áhrif TT¯-bjögun slíkrar kenningar hefur á jaðarskilyrði og samhverfu í tilsvarandi þyngdarfræðilíkani. Helstu niðurstöður eru að U(1) samhverfan er óbreytt en Virasoroalgebran bjagast og er ekki lengur hendin. Selberg zetafall er skilgreint sem Eulermargfeldi yfir frumgagnvegi á breiðgerðu deildarúmi. Með hjálp þess er mun auðveldara að reikna róf hreyfiorkuvirkja í skammtasviðlíkönum heldur en með hefðbundnum aðferðum. Í seinni hluta ritgerðarinnar er kynnt til sögunnar nýtt zetafall sem er alhæfing á Selberg zetafallinu fyrir fleiri deildarúm en þau sem eru breiðgerð. Nýja zetafallið er ákvarðað annars vegar fyrir deildarúm af undnu þrívíðu tímarúmi með neikvæðan heimsfasta og hins vegar fyrir deildarúm af flötu þrívíðu tímarúmi. Í báðum tilvikum fæst samsvörun milli núllstöðva zetafallsins og tvinngilds eiginrófs á viðkomandi deildarúmi, sem er í samræmi við eldri niðurstöður fyrir breiðgerð deildarúm.