In this thesis we explore Lyapunov functions for stochastic differential equations. Lyapunov functions are a useful tool to study the stability of an equilibrium of such stochastic systems and long term behaviour of solutions around an equilibrium point. We discuss a method of estimating, with rigorous lower bounds, what is called the basin of attraction of an equilibrium by using a combination of local and non-local Lyapunov functions. First we talk about a generalisation of Lyapunov functions for almost sure exponential stability, to a larger and more useful class of functions. Second, we describe a method to calculate local Lyapunov functions by linearising the stochastic system. Third, we calculate non-local Lyapunov functions using a numerical method called meshless collocation. This approach allows us to calculate true Lyapunov functions numerically instead of just approximations. We describe this method and talk about the computational challenges that we faced, which led us to study Wendland functions and explore different ways to evaluate them numerically. This resulted in
a method to generate Wendland functions in an optimal form and a software library to carry out meshless collocation using Wendland functions to solve partial differential equations numerically.
Í þessari ritgerð munum við skoða Lyapunov föll fyrir slembnar diffurjöfnur. Lyapunov föll
eru mjög gagnleg þegar við könnum stöðugleika jafnvægispunkta slembna kerfa, og langtíma hegðun sérlausna í kringum þá. Við fjöllum um aðferð, til að reikna svokallað aðdráttarsvæði og nákvæmar neðri skorður, sem felst í því að nota saman staðbundið Lyapunov fall og óstaðbundið Lyapunov fall. Fyrst fjöllum við um Lyapunov föll, fyrir næstum örugglega veldisaðfellustöðug kerfi, og alhæfum þau fyrir stærra og gagnlegra fallarúm. Í öðru lagi þá fjöllum við um aðferð til að reikna staðbundin Lyapunov föll með því að línugera slembna kerfið. Í þriðja lagi, þá reiknum við óstaðbundið Lyapunov fall með tölulegri aðferð sem kallast möskvalaus samleguaðferð. Með þessari aðferð getum við reiknað út raunverulegt Lyapunov fall tölulega í stað þess reikna út tölulega nálgun. Við fjöllum um reiknierfiðleika sem við tókumst á við, og hvernig í framhaldinu við skoðuðum Wendland föll og mismunandi aðferðir til að reikna þau tölulega. Niðurstaðan var aðferð sem býr til Wendland föll í hagkvæmri mynd og hugbúnaður sem nýtir þau til að leysa hlutafleiðujöfnur með mösvkalausri samleguaðferð.
