Polynomial approximation on Stein manifolds and the Monge-Ampère operator

Abstract

The first main theme of this thesis is the approximation of holomorphic functions on Stein manifolds by polynomials. In our setting a polynomial is an entire function whose absolute value is bounded from above by $\exp(a\psi+b)$ on the complement of a compact set, where $a,b$ are positive constants and $\psi$ is a given plurisubharmonic exhaustion function. In particular we generalize the Bernstein-Walsh-Siciak theorem to a certain class of Stein manifolds, which describes the equivalence between the possible holomorphic continuation of a function $f$ defined on a compact set $K$ in $\C^n$ to the rapidity of the best uniform approximation of $f$ on $K$ by polynomials. We also generalize Winiarski's theorem, which relates the growth rate of an entire function on $\C^n$ to its best uniform approximation by polynomials on a compact set.

If a plurisubharmonic exhaustion function $\psi$ on a Stein manifold $X$ satisfies the homogeneous Monge-Amp\`ere equation outside a compact subset of $X$, i.e.\ if $\psi$ is a parabolic potential on $X$, then the polynomial spaces defined by $\psi$ are finite dimensional. Therefore the problem of constructing parabolic potentials arises naturally in the theory of polynomial approximation on Stein manifolds.

The second main theme of this thesis is the complex Monge-Amp\`ere operator. In particular we derive formulas for the Monge-Ampère measures of functions of the form $\log |\Phi|_c$ , where $\Phi$ is a holomorphic map on a complex manifold of dimension $n$ with values in $\C^{n+1}\setminus \{0\}$ and $|\cdot|_c$ is the Lie-norm in $\C^{n+1}$.

Fyrsta meginþema þessarar ritgerðar er margliðunálganir á fáguðum föllum á Stein víðáttum. Hér lítum við á margliðu sem heilt fágað fall hvers algildi er takmarkað að ofan af falli af gerðinni exp(aψ + b) á fyllimengi þjappaðs mengis, þar sem a, b eru jákvæðir fastar og ψ er einhver ge n fjölundirþýð tæming. Sér í lagi þá alhæfum við Bernstein-Walsh-Siciak setninguna þannig að hún nái y r ákveðinn nýjan okk af Stein víðáttum. Rifjum upp að Bernstein-Walsh-Siciak setningin lýsir venslunum á milli mögulegrar fágaðrar framlengingar á falli f sem er skilgreint á þjöppuðu mengi K í C n og hraðanum á bestu nálgun á f í jöfnum mæli á K með margliðum. Við alhæfum líka setningu Winiarski sem lýsir venslunum á milli vaxtahraða heils fágaðs falls á C n og bestu nálgun f í jöfnum mæli á þjöppuðu mengi með margliðum. Ef fjölundirþýð tæming ψ á Stein víðáttu X uppfyllir óhliðruðu Monge-Ampère jöfnuna á fyllimengi þjappaðs mengis í X, þ.e. ef ψ er eyggert mætti á X, þá eru margliðurúmin sem ψ skilgreinir af endanlegri vídd. Þess vegna framlengjast rannsóknir á margliðunálgunum á Stein víðáttum náttúrulega y r í rannsóknir á MongeAmpère virkjanum. Seinna meginþema þessarar ritgerðar er Monge-Ampère virkinn. Sér í lagi leiðum við út jöfnur fyrir Monge-Ampère mál falla af gerðinni log |Φ|c þar sem að Φ er fáguð vörpun á fágaðri víðáttu af vídd n sem tekur gildi sín í C n \{0} og |·|c er Lie-staðallinn á Cn+1.