The purpose of this thesis is to develop spatio-temporal statistical models for glaciology, using the Bayesian hierarchical framework. Specifically, the process level is modeled as a time series of computer simulator outputs (i.e., from a numerical partial differential equation solver or an emulator) added to an error-correcting statistical process, closely related to the concept of model discrepancy. This error-correcting process accounts for spatial variability in simulator inaccuracies, as well as the accumulation of simulator inaccuracies forward in time. For computational efficiency, linear algebra for bandwidth-limited matrices is used for evaluating the likelihood of the model, and first-order emulator inference allows for the fast approximation of numerical solvers. Additionally, a computationally efficient approximation for the likelihood is derived. Analytical solutions to the shallow ice approximation (SIA) of the full Stokes equation system for stress balance of ice are used to examine the speed and accuracy of the computational methods used, in addition to the validity of modeling assumptions. Moreover, the modeling and methodology within this thesis are tested on data sets collected by the University of Iceland Institute of Earth Science (UI-IES) glaciology team, including bi-yearly mass balance measurements at 25 fixed sites at Langjökull (a glacier) over 19 years, in addition to 100 meter resolution digital elevation maps. As a byproduct of the construction of the Bayesian hierarchical model, a novel finite difference method is derived for solving the SIA partial differential equation (PDE). Although the application domain of this work is glaciology, the model and methods developed in this thesis can be applied to other geophysical domains. The thesis is structured around three papers. The first of these papers reviews dynamical modeling of glacial flow, introduces a second-order finite difference method for solving the SIA PDE, presents a Bayesian hierarchical model involving this numerical solver, and validates the model with analytical solutions to the SIA PDE. The second of these papers generalizes the statistical model of the first paper, probes higher- order random walks for representing model discrepancy, incorporates first-order emulators, and analyzes methods for efficient log-likelihood evaluation. The third of these papers applies the model framework of the first two papers to mass balance and surface elevation data at Langjökull. The major contributions of the thesis are the derivation of a new numerical method for solving the SIA PDE in two spatial dimensions and time, the use of a random walk to represent model discrepancy (i.e., an error-correcting process), efficient methods for log-likelihood evaluation, and the application of spatio-temporal statistical modeling to Langjökull, one of Iceland’s main glaciers.
Markmið þessarar ritgerðar er að þróa tíma- og rýmisháð tölfræðileg
líkön fyrir jökla með því að nota stigskipt Bayesísk líkön. Hér er sá hluti
stigskipta Bayesíska líkansins sem snýr að undirliggjandi líkani fyrir
ferlið sem er verið að skoða, útfærður þannig að tímaraðirnar sem koma
frá tölulegum hermi (þ.e. frá tölulegri lausn á hlutafleiðujöfnu eða nálgun
á slíkri tölulegri lausn) eru lagðar saman við líkindafræðilegt ferli sem
hefur það hlutverk að leiðrétta fyrir mismuninn á milli tölulega hermisins
og raunverulega ferlisins, og er nátengd hugmyndinni um misræmi líkana.
Þetta líkindafræðilega ferli leiðréttir fyrir rýmisháð frávik og tekur tillit
til að frávikin safnist upp yfir tíma. Til að flýta fyrir útreikningum þá er
línuleg algebra fyrir rýr fylki notuð til að reikna sennileikafall líkansins
og fyrstu gráðu hermar notaðir til að flýta fyrir útreikningum á tölulegum
lausnum hlutafleiðujafna eða öðrum kerfum. Að auki er ný reiknisparandi
nálgun fundin fyrir sennileikafallið. Fræðilegar lausnir á þunnjökla nálguninni sem byggir á jöfnum Stokes fyrir spennur í jöklum, eru notaðar
til að meta reiknihraða og nákvæmni tölulegra nálgana, og hversu vel
líkanið fellur að gögnunum. Að auki er líkönunum og aðferðafræðinni
í þessari ritgerð beitt á raunveruleg gagnasöfn sem Jarðvísindastofnun
Háskóla Íslands hefur sett saman, þar með taldar afkomumælingar á
22-25 föstum stöðum sem teknar eru tvisvar á ári á Langjökli yfir 19 ára
tímabil, auk hæðarkorts sem hefur 100 metra upplausn. Aukaafurð sem
kom til við smíði á stigskipta Bayesíska líkaninu, er ný mismunaaðferð
til að leysa tölulega hlutafleiðujöfnuna fyrir þunnjökla nálgunina. Þó svo
að aðferðirnar sem hér eru settar fram séu fyrir jöklafræði þá má útfæra
þær fyrir önnur jarðeðlisfræðileg gögn og tilsvarandi líkön.
Ritgerðin byggir á þremur vísindagreinum. Í fyrstu greininni er
farið yfir þau líkön sem hafa verið þróuð til að lýsa hreyfingu jökla,
annarar gráðu mismunaaðferð til að leysa tölulegu hlutafleiðujöfnuna
fyrir þunnjökla nálgunina er kynnt sem og stigskipt Bayesískt líkan sem
notar tölulegu lausnina, og mat byggt á stigskipta Bayesíska líkaninu
er borið saman við fræðilega lausn þunnjökla nálgunarinnar. Í grein tvö er fjallað um nánari útfærslu á tölfræðinni og útreikningunum fyrir
stigskipta Bayesíska líkanið, slembigangur af stigi hærra en einn er
skoðaður sem líkindafræðilegt líkan fyrir mismuninn á milli tölulega
hermisins og raunveruleikans, sýnd notkun á fyrstu gráðu hermum, og ný
reiknisparandi nálgun fyrir sennileikafallið er kynnt. Í þriðju greininni er
aðferðafræði fyrstu tveggja greinanna beitt á afkomugögn og hæðargögn
frá Langjökli.
Framlag ritgerðarinnar felst í: (i) nýrri annarrar gráðu mismunaaðferð
til að leysa tölulegu hlutafleiðujöfnuna fyrir þunnjökla nálgunina í tveimur rúmvíddum og tíma, (ii) notkun slembigangs til að lýsa mismuninum
á milli tölulega hermisins og raunverulega ferlisins, (iii) nýrri reiknisparandi nálgun fyrir sennileikafallið, (iv) að beita nýju tíma- og rýmisháðu
tölfræðilegu líkani fyrir jökla við greiningu gagna frá Langjökli, einum
af stærstu jöklum Íslands.
